Author: IMC

左側的 14 邊形 Tile(1,1) 被稱為弱手性非週期單瓦 — 換句話說，如果禁止混合未反射和反射瓦片的鋪砌，則它僅以非週期性方式鋪砌。 然而，透過修改其邊緣，如中心和右側所示，可以創建稱為「幽靈」的嚴格手性非週期單瓦，這些單瓦僅允許非週期性鋪砌。 圖片來源：滑鐵盧大學

最近，一個由四人組成的國際團隊（包括 Cheriton 電腦科學學院教授 Craig Kaplan 博士）發現了一種單一形狀，可以鋪滿平面（一個無限的二維表面），其圖案永遠無法重複。

這一發現讓數學家、鋪砌愛好者和公眾都為之著迷。

這種形狀，一個 13 邊形，他們稱之為「帽子」，數學家稱之為非週期單瓦或「愛因斯坦」，這個德語詞的意思是「一塊石頭」。

但該團隊最近的發現再次提高了標準。 他們發現了另一種與第一種形狀相關的形狀，它符合更嚴格的定義。 這種被稱為「幽靈」的新形狀，以一種永遠不會重複的模式鋪滿平面，而無需使用該形狀的鏡像。 因此，它也被稱為「吸血鬼愛因斯坦」— 一種無需反射即可非週期性鋪砌的形狀。

「我們的第一篇論文解決了愛因斯坦問題，但由於該形狀需要反射才能進行非週期性鋪砌，因此人們提出了一個合理的問題：是否有一種形狀可以像帽子一樣，但無需反射，」Kaplan 解釋說。 「我們很幸運地找到了一種形狀，它不僅解決了這個子問題，而且在第一篇論文發表後不久就解決了它。」

對於數學家來說，帽子及其鏡像是一個單一的形狀，但在物理世界中，左手和右手的形狀表現可能不同。 例如，你不能在左手上戴右手手套。

「如果你用帽子形狀的瓷磚以非週期性方式鋪砌一個大型浴室地板，這些瓷磚的一面已經上釉，那麼你需要帽子和帽子的鏡像，」Kaplan 說。

但並非這種吹毛求疵促成了最近的發現。

吸血鬼愛因斯坦的發現始於 David Smith 的沉思，他是一位退休的印刷技術員，也是一位來自英國約克郡的自稱形狀愛好者，幾個月前他的好奇心促成了最初的愛因斯坦發現。

「在我們的帽子論文上線幾天后，Dave 給我們發了一封電子郵件，說他一直在玩一種相關的形狀，這種形狀的表現似乎很奇怪，」Kaplan 說。 「日本數學家兼著名藝術家 Yoshiaki Araki 的作品具有 MC Escher 的精神，他發布了 Tile(1,1) 的圖片，這引起了 Dave 的興趣，並進一步研究它。」

Yoshiaki 在 Twitter 上發布了一個有趣的問題：「基於新的非週期單瓦 Tile(1, 1.1) 的非週期海龜鑲嵌。在鑲嵌中，據說大約 12.7% 的瓷磚被反射。綠色的是一個例子。在鑲嵌中還隱藏著另一隻被反射的海龜。誰是被反射的？」

「Yoshi 將 Tile(1,1) 變成了海龜，很難在圖片中看到另一隻被反射的海龜。但這引起了 Dave 的好奇。如果我們用這種形狀鋪砌，但不進行反射呢？當他這樣做時，Dave 發現他可以逐步向外構建鋪砌，其模式不會停止也不會重複。」

但這種形狀帶有不同的吹毛求疵。 正如 Kaplan 解釋的那樣，如果你使用 Tile(1,1) 的反射，則圖案會重複。 換句話說，它是週期性的。 但是，如果通過用曲線替換其直線邊緣來修改 Tile(1,1)，它就會變成吸血鬼愛因斯坦 — 一種單一形狀，無需反射即可在永不重複的模式中鋪砌無限平面。

對於數學家和鋪砌愛好者來說，顯而易見的問題是下一步是什麼？

「我們可以提出這個問題的許多變體，」Kaplan 說。 「至少對我來說，最有趣的是這是否可以在 3D 中完成。如果有一種形狀可以在三個維度中非週期性地重複，那就太好了。這樣的結構很難視覺化，但如果我們有幸找到一種三維形狀（一種多形體），像帽子一樣僅以非週期性方式鋪砌，那麼在計算上證明它並不會困難得多。」

「作為數學的一個分支，鋪砌理論是美麗的、有形的，並且有很多有趣的問題需要解決。不乏後續工作要做。」

Hatfest，一個慶祝「帽子」發現的活動，將於 7 月 20 日至 21 日在牛津大學數學研究所舉行。 該活動的第一天將以針對普通觀眾的關於鋪砌的講座和研討會為特色，而第二天將以針對廣泛的物理學家和數學家觀眾的演示為特色。

如需更多此類見解，請登入我們的網站 https://international-maths-challenge.com

本文的作者為滑鐵盧大學的 Joe Petrik

왼쪽에 있는 14면체 다각형 Tile(1,1)은 약한 카이랄 비주기적 모노타일로 알려져 있습니다. 즉, 반사되지 않은 타일과 반사된 타일이 혼합된 타일링이 금지된다면, 이 도형은 비주기적으로만 타일링됩니다. 하지만 중앙과 오른쪽에 보이는 것처럼 가장자리를 수정함으로써, 비주기적 타일링만 허용하는 “스펙터” 라고 불리는 엄격한 카이랄 비주기적 모노타일이 생성됩니다. 출처: 워털루 대학교

최근 체리턴 컴퓨터 과학 대학의 크레이그 카플란 교수도 포함된 4명으로 구성된 국제 연구팀은 무한한 2차원 표면인 평면을 결코 반복되지 않는 패턴으로 타일링하는 단 하나의 도형을 발견했습니다.

이 발견은 수학자, 타일링 애호가, 그리고 일반 대중 모두를 매료시켰습니다.

그들이 “모자” 라고 부르는 이 13면체 다각형은 수학자들에게 비주기적 모노타일 또는 “아인슈타인” 으로 알려져 있는데, 이는 “하나의 돌” 을 의미하는 독일어 단어입니다.

하지만 연구팀의 가장 최근 발견은 다시 한번 수준을 한 단계 더 끌어올렸습니다. 그들은 첫 번째 도형과 관련이 있으면서 훨씬 더 엄격한 정의를 충족하는 또 다른 도형을 발견했습니다. “스펙터” 라고 불리는 이 새로운 도형은 도형의 거울상을 사용하지 않고도 결코 반복되지 않는 패턴으로 평면을 타일링합니다. 이러한 이유로 이 도형은 “뱀파이어 아인슈타인”—즉, 반사를 요구하지 않고 비주기적으로 타일링하는 도형—이라고도 불립니다.

카플란 교수는 설명합니다. “저희의 첫 번째 논문은 아인슈타인 문제를 해결했지만, 그 도형이 비주기적으로 타일링하기 위해 반사를 필요로 했기 때문에 사람들은 정당한 질문을 제기했습니다. ‘모자가 하는 일을 반사 없이 할 수 있는 도형이 있을까?’” “저희는 이 하위 문제를 해결할 뿐만 아니라, 첫 번째 논문이 나온 지 얼마 되지 않아 이 문제를 해결하는 도형을 찾게 된 것이 큰 행운이었습니다.”

수학자들에게는 모자와 그 거울상은 하나의 도형이지만, 물리적인 세계에서는 왼손잡이 도형과 오른손잡이 도형은 다르게 행동할 수 있습니다. 예를 들어, 오른손 장갑을 왼손에 낄 수는 없습니다.

카플란 교수는 말합니다. “만약 한쪽 면이 유약 처리된 모자 모양의 타일로 넓은 욕실 바닥을 비주기적으로 타일링한다면, 모자와 모자의 거울상이 모두 필요할 것입니다.”

하지만 최근 발견을 촉발한 것은 이러한 사소한 논쟁이 아니었습니다.

뱀파이어 아인슈타인의 발견은 몇 달 전 그의 호기심이 원래의 아인슈타인 발견으로 이어졌던 영국 요크셔 출신의 은퇴한 인쇄 기술자이자 스스로를 도형 애호가라고 칭하는 데이비드 스미스의 생각에서 시작되었습니다.

카플란 교수는 말합니다. “저희의 모자 논문이 온라인에 공개된 지 며칠 후, 데이브는 관련 도형을 가지고 놀다가 이상하게 행동하는 것처럼 보였다고 이메일을 보냈습니다.” “MC 에셔의 정신을 이어받은 작품으로 유명한 일본 수학자이자 예술가인 아라키 요시아키가 Tile(1,1)의 사진을 올렸는데, 데이브가 그것을 더 자세히 살펴보는 데 관심을 갖게 되었습니다.”

요시아키는 트위터에 흥미로운 질문을 올렸습니다. “새로운 비주기적 모노타일 Tile(1, 1.1)을 기반으로 한 비주기적 거북이 테셀레이션. 이 타일링에서 약 12.7%의 타일이 반사된다고 합니다. 녹색 타일이 한 예시입니다. 타일링 안에 반사된 거북이가 하나 더 숨어 있습니다. 반사된 것은 누구일까요?”

“요시가 Tile(1,1)을 거북이로 만들었는데, 그 사진에서는 다른 반사된 거북이를 찾기가 좀 어렵습니다. 하지만 데이브는 호기심을 갖게 되었습니다. ‘이 도형으로 타일링하되 반사 없이 하면 어떨까?’ 그렇게 하면서 데이브는 멈추지 않고 반복되지 않는 패턴으로 타일링을 점진적으로 바깥쪽으로 확장해 나갈 수 있다는 것을 발견했습니다.”

하지만 그때 이 도형은 또 다른 문제점을 안고 있었습니다. 카플란 교수가 설명하듯이, Tile(1,1)의 반사된 형태를 사용하면 패턴은 반복됩니다. 다시 말해, 그것은 주기적입니다. 하지만 Tile(1,1)의 직선 가장자리를 곡선으로 대체하여 수정하면, 그것은 뱀파이어 아인슈타인—즉, 반사 없이 무한 평면을 결코 반복되지 않는 패턴으로 타일링하는 단 하나의 도형—이 됩니다.

수학자와 타일링 애호가들에게 명백한 질문은 ‘다음은 무엇인가?’입니다.

카플란 교수는 말합니다. “우리는 이 문제의 다양한 변형을 제시할 수 있습니다.” “적어도 저에게는 가장 흥미로운 점은 이것이 3D로도 가능한지 여부입니다. 3차원에서 비주기적으로 반복되는 도형이 있다면 좋을 것입니다. 그러한 구성은 시각화하기 훨씬 어렵지만, 만약 모자처럼 비주기적으로만 타일링되는 3차원 도형—폴리폼—을 찾을 수 있다면, 계산적으로 증명하는 것이 그렇게 훨씬 더 어렵지는 않을 것입니다.”

“수학의 한 분야로서 타일링 이론은 아름답고, 실질적이며, 해결해야 할 매혹적인 문제들이 많습니다. 앞으로 해야 할 후속 연구는 부족하지 않습니다.”

“모자” 의 발견을 기념하는 햇페스트(Hatfest)는 7월 20일부터 21일까지 옥스퍼드 대학교 수학 연구소에서 개최될 예정입니다. 행사 첫째 날에는 일반 대중을 대상으로 한 타일링 강연과 워크숍이 진행될 예정이며, 둘째 날에는 물리학자와 수학자 등 폭넓은 청중을 대상으로 한 발표가 있을 예정입니다.

더 많은 통찰력을 얻으려면 저희 웹사이트 https://international-maths-challenge.com에 접속하세요.

기사 제공: 워털루 대학교 조 페트릭

Le polygone à 14 côtés Tile(1,1), à gauche, est connu comme un monotuile apériodique faiblement chiral — en d’autres termes, si les pavages qui mélangent des tuiles non réfléchies et réfléchies sont interdits, alors il ne pave que de manière apériodique. Cependant, en modifiant ses bords, comme montré au centre et à droite, des monotuiles apériodiques strictement chiraux appelés « spectres » sont créés qui n’admettent que des pavages non périodiques. Crédit : Université de Waterloo

Récemment, une équipe internationale de quatre personnes, qui inclut le professeur Dr. Craig Kaplan de l’École d’informatique Cheriton, a découvert une forme unique qui pave le plan — une surface infinie bidimensionnelle — selon un motif qui ne peut jamais être rendu répétitif.

La découverte a fasciné les mathématiciens, les passionnés de pavage et le grand public.

La forme, un polygone à 13 côtés qu’ils ont appelé « le chapeau », est connue des mathématiciens comme un monotuile apériodique ou un « einstein », les mots allemands qui signifient « une pierre ».

Mais la découverte la plus récente de l’équipe a encore relevé la barre. Ils ont trouvé une autre forme, liée à la première, qui répond à une définition encore plus stricte. Surnommée le « spectre », la nouvelle forme pave un plan selon un motif qui ne se répète jamais sans utiliser d’images miroir de la forme. Pour cette raison, elle a aussi été appelée un « einstein vampire » — une forme qui pave de manière apériodique sans nécessiter sa réflexion.

« Notre premier article a résolu le problème d’einstein, mais comme la forme nécessitait une réflexion pour paver de manière apériodique, les gens ont soulevé une question légitime : Existe-t-il une forme qui peut faire ce que fait le chapeau mais sans réflexion », explique Kaplan. « Nous avons eu la chance de trouver une forme qui non seulement résout ce sous-problème, mais l’a aussi résolu si peu de temps après le premier article. »

Pour les mathématiciens, le chapeau et son image miroir constituent une seule forme, mais dans le monde physique, les formes gauches et droites peuvent se comporter différemment. Vous ne pouvez pas, par exemple, porter un gant de la main droite sur votre main gauche.

« Si vous paviez le sol d’une grande salle de bain de manière apériodique avec des tuiles en forme de chapeau qui auraient été émaillées d’un côté, vous auriez besoin de chapeaux et d’images miroir de chapeaux », dit Kaplan.

Mais ce n’est pas cette chicane qui a motivé la découverte récente.

La découverte de l’einstein vampire a commencé avec les réflexions de David Smith, un technicien d’imprimerie retraité et passionné de formes autodidacte du Yorkshire, en Angleterre, dont la curiosité quelques mois plus tôt avait mené à la découverte originale d’einstein.

« Dave nous a envoyé un courriel quelques jours après que notre article sur le chapeau soit mis en ligne pour dire qu’il avait joué avec une forme apparentée qui semblait se comporter étrangement », dit Kaplan. « Yoshiaki Araki, un mathématicien japonais et artiste bien connu dont le travail est dans l’esprit de MC Escher, avait publié des images de Tile(1,1) qui ont intéressé Dave à l’examiner davantage. »

Yoshiaki a posté une question intrigante sur Twitter : « Une tessellation de tortue apériodique basée sur le nouveau monotuile apériodique Tile(1, 1.1). Dans le pavage, il est dit qu’environ 12,7 % des tuiles sont réfléchies. La verte en est un exemple. Une tortue réfléchie de plus est cachée dans le pavage. Qui est la réfléchie ? »

« Yoshi avait transformé Tile(1,1) en tortues et il est un peu difficile de voir l’autre tortue réfléchie dans cette image. Mais cela a rendu Dave curieux. Et si nous pavions avec cette forme mais sans réflexions ? En faisant cela, Dave a trouvé qu’il pouvait construire des pavages progressivement vers l’extérieur selon un motif qui ne s’arrêtait pas et ne se répétait pas. »

Mais alors cette forme est venue avec une chicane différente. Comme l’explique Kaplan, si vous utilisez des réflexions de Tile(1,1), le motif se répète effectivement. En d’autres termes, il est périodique. Mais si Tile(1,1) est modifié en remplaçant ses bords droits par des courbes, il devient un einstein vampire — une forme unique qui sans réflexion pave le plan infini selon un motif qui ne peut jamais être rendu répétitif.

La question évidente pour les mathématiciens et les passionnés de pavage est : quelle est la suite ?

« Nous pouvons poser de nombreuses variations du problème », dit Kaplan. « La plus intéressante, pour moi du moins, est de savoir si cela peut être fait en 3D. Il serait agréable d’avoir une forme qui se répète de manière non périodique en trois dimensions. De telles constructions sont beaucoup plus difficiles à visualiser, mais informatiquement ce n’est pas tellement plus difficile à prouver si nous avons la chance de trouver une forme tridimensionnelle — une polyforme — qui comme le chapeau ne pave que de manière apériodique. »

« La théorie du pavage en tant que branche des mathématiques est belle, tangible, et a beaucoup de problèmes fascinants à résoudre. Il n’y a pas de pénurie de travaux de suivi à faire. »

Hatfest, une célébration de la découverte du « Chapeau », aura lieu à l’Institut mathématique de l’Université d’Oxford du 20 au 21 juillet. Le premier jour de l’événement présentera des conférences et des ateliers sur le pavage destinés à un public profane, tandis que le second présentera des présentations destinées à un large public de physiciens et de mathématiciens.

Pour plus de telles perspectives, connectez-vous à notre site web https://international-maths-challenge.com

Crédit de l’article donné à Joe Petrik, Université de Waterloo

Das 14-seitige Polygon Tile(1,1) links ist als schwach chirale aperiodische Monokachel bekannt – das heißt, wenn Parkettierungen, die ungespiegelte und gespiegelte Kacheln mischen, verboten sind, dann parkettiert es nur aperiodisch. Durch Modifizierung seiner Kanten, wie in der Mitte und rechts gezeigt, werden jedoch streng chirale aperiodische Monokacheln namens „Spectres“ erzeugt, die nur nicht-periodische Parkettierungen zulassen. Quelle: University of Waterloo

Kürzlich entdeckte ein internationales Viererteam, dem Professor Dr. Craig Kaplan von der Cheriton School of Computer Science angehört, eine einzelne Form, die die Ebene – eine unendliche, zweidimensionale Oberfläche – in einem Muster parkettiert, das sich niemals wiederholen lässt.

Die Entdeckung faszinierte Mathematiker, Parkettierungs-Enthusiasten und die Öffentlichkeit gleichermaßen.

Die Form, ein 13-seitiges Polygon, das sie „den Hut“ nannten, ist Mathematikern als aperiodische Monokachel oder als „Einstein“ bekannt, die deutschen Wörter, die „ein Stein“ bedeuten.

Doch die jüngste Entdeckung des Teams hat die Messlatte erneut höher gelegt. Sie fanden eine weitere Form, die mit der ersten verwandt ist und eine noch strengere Definition erfüllt. Die neue Form, die den Namen „Specter“ erhielt, parkettiert eine Ebene in einem Muster, das sich niemals wiederholt, ohne die Verwendung von Spiegelbildern der Form. Aus diesem Grund wurde sie auch als „Vampir-Einstein“ bezeichnet – eine Form, die aperiodisch parkettiert, ohne ihre Spiegelung zu benötigen.

„„Unser erstes Paper löste das Einstein-Problem, aber da die Form eine Spiegelung benötigte, um aperiodisch zu parkettieren, stellten die Leute eine berechtigte Frage: Gibt es eine Form, die das kann, was der Hut kann, aber ohne Spiegelung?“ erklärt Kaplan. „„Es war unser Glück, dass wir eine Form fanden, die nicht nur dieses Teilproblem löst, sondern es auch so kurz nach dem ersten Paper gelöst hat.“

Für Mathematiker sind der Hut und sein Spiegelbild eine einzige Form, aber in der physischen Welt können sich linkshändige und rechtshändige Formen unterschiedlich verhalten. Man kann zum Beispiel keinen rechtshändigen Handschuh an der linken Hand tragen.

„„Wenn man einen großen Badezimmerboden aperiodisch mit hut-förmigen Kacheln parkettieren würde, die auf einer Seite glasiert waren, bräuchte man Hüte und Spiegelbilder von Hüten,“ sagt Kaplan.

Doch es war nicht dieser Einwand, der die jüngste Entdeckung motivierte.

Die Entdeckung des Vampir-Einsteins begann mit den Überlegungen von David Smith, einem pensionierten Drucktechniker und selbsternannten Formen-Liebhaber aus Yorkshire, England, dessen Neugier Monate zuvor zur ursprünglichen Einstein-Entdeckung geführt hatte.

„„Dave mailte uns ein paar Tage, nachdem unser Hut-Paper online gegangen war, um zu sagen, dass er mit einer verwandten Form herumgespielt hatte, die sich seltsam zu verhalten schien,“ sagt Kaplan. „„Yoshiaki Araki, ein japanischer Mathematiker und bekannter Künstler, dessen Werk im Geiste von MC Escher steht, hatte Bilder von Tile(1,1) gepostet, die Dave dazu brachten, sich näher damit zu beschäftigen.“

Yoshiaki stellte eine faszinierende Frage auf Twitter: „Eine aperiodische Schildkröten-Tessellation basierend auf der neuen aperiodischen Monokachel Tile(1, 1.1). In der Parkettierung heißt es, dass etwa 12,7 % der Kacheln gespiegelt sind. Die grüne ist ein Beispiel. Eine weitere gespiegelte Schildkröte ist in der Parkettierung versteckt. Wer ist die gespiegelte?“

„„Yoshi hatte Tile(1,1) in Schildkröten verwandelt, und es ist etwas schwer, die andere gespiegelte Schildkröte auf diesem Bild zu sehen. Aber es machte Dave neugierig. Was wäre, wenn wir mit dieser Form parkettieren, aber ohne Spiegelungen? Als er das tat, stellte Dave fest, dass er Parkettierungen schrittweise nach außen in einem Muster aufbauen konnte, das nicht aufhörte und sich nicht wiederholte.“

Doch dann kam diese Form mit einem anderen Einwand. Wie Kaplan erklärt, wiederholt sich das Muster, wenn man Spiegelungen von Tile(1,1) verwendet. Mit anderen Worten, es ist periodisch. Doch wenn Tile(1,1) modifiziert wird, indem seine geraden Kanten durch Kurven ersetzt werden, wird es zu einem Vampir-Einstein – einer einzelnen Form, die ohne Spiegelung die unendliche Ebene in einem Muster parkettiert, das sich niemals wiederholen lässt.

Die offensichtliche Frage für Mathematiker und Parkettierungs-Enthusiasten ist: Was kommt als Nächstes?

„„Wir können viele Variationen des Problems stellen,“ sagt Kaplan. „„Das Interessanteste, zumindest für mich, ist, ob dies in 3D möglich ist. Es wäre schön, eine Form zu haben, die sich in drei Dimensionen nicht-periodisch wiederholt. Solche Konstruktionen sind viel schwieriger zu visualisieren, aber rechnerisch ist es nicht viel schwieriger zu beweisen, sollten wir das Glück haben, eine dreidimensionale Form – ein Polyform – zu finden, die wie der Hut nur aperiodisch parkettiert.“

„„Die Parkettierungstheorie als Zweig der Mathematik ist schön, greifbar und hat viele faszinierende Probleme zu lösen. Es gibt keinen Mangel an weiterer Arbeit zu tun.“

Hatfest, eine Feier der Entdeckung von „dem Hut,“ findet vom 20. bis 21. Juli am Mathematischen Institut der Universität Oxford statt. Der erste Tag der Veranstaltung bietet Vorträge und Workshops zum Thema Parkettierung, die sich an ein Laienpublikum richten, während der zweite Tag Präsentationen für ein breites Publikum von Physikern und Mathematikern bietet.

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Artikel von Joe Petrik, University of Waterloo

Investigadores del Centro de Investigación de Transformación Industrial ARC de la Universidad de Australia Occidental para la Transformación de la Infraestructura Energética a través de la Ingeniería Digital (TIDE) han logrado un importante avance matemático que podría ayudar a transformar la investigación y la tecnología oceánicas.

El investigador Dr. Lachlan Astfalck, de la Facultad de Física, Matemáticas e Informática de la UWA, y su equipo desarrollaron un nuevo método para la estimación de la densidad espectral, abordando sesgos de larga data y allanando el camino para estudios oceanográficos más precisos.

El estudio se publicó en la revista Biometrika, conocida por su énfasis en las contribuciones metodológicas y teóricas originales de valor directo o potencial en las aplicaciones.

“Comprender el océano es crucial para numerosos campos, incluida la ingeniería marina, la evaluación y modelado del clima, las tecnologías renovables, la defensa y el transporte”, dijo el Dr. Astfalck.

“Nuestro nuevo método permite a los investigadores y profesionales de la industria avanzar en las tecnologías oceánicas con mayor confianza y precisión.”

La estimación de la densidad espectral es una técnica matemática utilizada para medir la contribución energética de las señales oscilatorias, como las olas y las corrientes, mediante la identificación de las frecuencias que transportan la mayor cantidad de energía.

“Tradicionalmente, el estimador de Welch ha sido el método de referencia para este análisis debido a su facilidad de uso y amplia citación, sin embargo, este método tiene un riesgo inherente de sesgo, que puede distorsionar las estimaciones esperadas basadas en la suposición del modelo, un problema que a menudo se pasa por alto”, dijo el Dr. Astfalck.

El equipo de TIDE desarrolló el estimador de Welch no sesgado, que utiliza el aprendizaje estadístico no paramétrico para eliminar estos sesgos.

“Nuestro método mejora la precisión y la fiabilidad de los cálculos espectrales sin requerir suposiciones específicas sobre la forma o distribución de los datos, lo que es particularmente útil cuando se trata de datos complejos que no siguen patrones analíticos conocidos, como las mareas internas en las regiones de la plataforma oceánica”, dijo el Dr. Astfalck.

El nuevo método se aplicó recientemente en un proyecto de investigación de TIDE por el profesor titular de la Escuela de Posgrado de Océanos de la UWA y colaborador de TIDE, el Dr. Matt Rayson, para analizar procesos oceánicos no lineales complejos.

“El océano es difícil de medir y comprender, y el trabajo que estamos haciendo se centra en descubrir algunos de esos misterios”, dijo el Dr. Rayson.

El nuevo método significa que podemos comprender mejor los procesos oceánicos, los modelos climáticos, las corrientes oceánicas y el transporte de sedimentos, lo que nos acerca al desarrollo de la próxima generación de modelos oceánicos numéricos.

Para obtener más información como esta, visite nuestro sitio web en www.international-maths-challenge.com.

Crédito del artículo otorgado a la Universidad de Australia Occidental.

Des chercheurs du Hub de recherche de transformation industrielle ARC de l’Université d’Australie-Occidentale pour la transformation des infrastructures énergétiques par l’ingénierie numérique (TIDE) ont réalisé une percée mathématique significative qui pourrait contribuer à transformer la recherche et la technologie océaniques.

Le chercheur Dr. Lachlan Astfalck, de l’École de physique, mathématiques et informatique de l’UWA, et son équipe ont développé une nouvelle méthode d’estimation de densité spectrale, s’attaquant aux biais de longue date et ouvrant la voie à des études océanographiques plus précises.

L’étude a été publiée dans la revue Biometrika, connue pour son accent sur les contributions méthodologiques et théoriques originales de valeur directe ou potentielle dans les applications.

« Comprendre l’océan est crucial pour de nombreux domaines, notamment l’ingénierie offshore, l’évaluation et la modélisation climatiques, les technologies renouvelables, la défense et le transport », a déclaré le Dr. Astfalck.

« Notre nouvelle méthode permet aux chercheurs et aux professionnels de l’industrie de faire progresser les technologies océaniques avec plus de confiance et de précision. »

L’estimation de densité spectrale est une technique mathématique utilisée pour mesurer la contribution énergétique des signaux oscillatoires, tels que les vagues et les courants, en identifiant quelles fréquences portent le plus d’énergie.

« Traditionnellement, l’estimateur de Welch a été la méthode de référence pour cette analyse en raison de sa facilité d’utilisation et de ses citations répandues, cependant cette méthode présente un risque inhérent de biais, qui peut déformer les estimations attendues basées sur l’hypothèse du modèle, un problème souvent négligé », a déclaré le Dr. Astfalck.

L’équipe TIDE a développé l’estimateur de Welch débiaiser, qui utilise l’apprentissage statistique non paramétrique pour éliminer ces biais.

« Notre méthode améliore la précision et la fiabilité des calculs spectraux sans nécessiter d’hypothèses spécifiques sur la forme ou la distribution des données, ce qui est particulièrement utile lors du traitement de données complexes qui ne suivent pas de modèles analytiques connus, comme les marées internes dans les régions de plateau océanique », a déclaré le Dr. Astfalck.

La nouvelle méthode a récemment été appliquée dans un projet de recherche TIDE par le maître de conférences de l’École supérieure des océans de l’UWA et collaborateur TIDE, le Dr. Matt Rayson, pour examiner des processus océaniques non linéaires complexes.

« L’océan est difficile à mesurer et à comprendre et le travail que nous faisons vise entièrement à découvrir certains de ces mystères », a déclaré le Dr. Rayson.

« La nouvelle méthode signifie que nous pouvons mieux comprendre les processus océaniques, les modèles climatiques, les courants océaniques et le transport de sédiments, nous rapprochant du développement de la prochaine génération de modèles océaniques numériques.

Pour plus d’informations comme celle-ci, visitez notre site web à www.international-maths-challenge.com.

Crédit de l’article donné à l’Université d’Australie-Occidentale.

Forscher des ARC Industrial Transformation Research Hub für die Transformation der Energieinfrastruktur durch digitale Ingenieurwissenschaften (TIDE) der University of Western Australia haben einen bedeutenden mathematischen Durchbruch erzielt, der die Meeresforschung und -technologie verändern könnte.

Forschungsstipendiat Dr. Lachlan Astfalck von der School of Physics, Mathematics and Computing der UWA und sein Team entwickelten eine neue Methode zur Spektraldichteschätzung, die langjährige Verzerrungen beseitigt und den Weg für genauere ozeanografische Studien ebnet.

Die Studie wurde in der Fachzeitschrift Biometrika veröffentlicht, die für ihren Fokus auf originelle methodische und theoretische Beiträge von direktem oder potenziellem Wert für Anwendungen bekannt ist.

„Das Verständnis des Ozeans ist entscheidend für zahlreiche Bereiche, darunter Offshore-Engineering, Klimabewertung und -modellierung, erneuerbare Technologien, Verteidigung und Transport,“ sagte Dr. Astfalck.

„Unsere neue Methode ermöglicht es Forschern und Fachleuten aus der Industrie, Meerestechnologien mit größerer Zuversicht und Genauigkeit voranzutreiben.“

Spektraldichteschätzung ist eine mathematische Technik, die verwendet wird, um den Energiebeitrag von oszillierenden Signalen, wie Wellen und Strömungen, zu messen, indem identifiziert wird, welche Frequenzen die meiste Energie tragen.

„Traditionell war Welch’s Schätzer die bevorzugte Methode für diese Analyse, aufgrund seiner Benutzerfreundlichkeit und weiten Verbreitung. Diese Methode birgt jedoch ein inhärentes Verzerrungsrisiko, das die erwarteten Schätzungen basierend auf der Modellannahme verzerren kann – ein Problem, das oft übersehen wird,“ sagte Dr. Astfalck.

Das TIDE-Team entwickelte den entzerrten Welch-Schätzer, der nicht-parametrisches statistisches Lernen verwendet, um diese Verzerrungen zu beseitigen.

„Unsere Methode verbessert die Genauigkeit und Zuverlässigkeit von Spektralberechnungen, ohne spezifische Annahmen über die Form oder Verteilung der Daten zu erfordern, was besonders nützlich ist, wenn man mit komplexen Daten arbeitet, die keinen bekannten analytischen Mustern folgen, wie z.B. interne Gezeiten in ozeanischen Schelfregionen,“ sagte Dr. Astfalck.

Die neue Methode wurde kürzlich in einem TIDE-Forschungsprojekt von Dr. Matt Rayson, Senior Lecturer an der Oceans Graduate School der UWA und TIDE-Mitarbeiter, angewendet, um komplexe nicht-lineare Ozeanprozesse zu untersuchen.

„Der Ozean ist schwer zu messen und zu verstehen, und bei unserer Arbeit geht es darum, einige dieser Geheimnisse zu lüften,“ sagte Dr. Rayson.

„Die neue Methode bedeutet, dass wir Ozeanprozesse, Klimamodelle, Meeresströmungen und Sedimenttransport besser verstehen können, was uns der Entwicklung der nächsten Generation numerischer Ozeanmodelle näherbringt.“

Für weitere Einblicke wie diese, besuchen Sie unsere Website unter www.international-maths-challenge.com.

Artikelgutschrift an die University of Western Australia.

서호주 대학교의 ARC 디지털 엔지니어링을 통한 에너지 인프라 변환 산업 변환 연구 허브(TIDE) 연구원들이 해양 연구 및 기술을 변화시키는 데 도움이 될 수 있는 중요한 수학적 돌파구를 마련했습니다.

UWA 물리학, 수학 및 컴퓨팅 학부의 연구원인 Lachlan Astfalck 박사와 그의 팀은 스펙트럼 밀도 추정을 위한 새로운 방법을 개발하여 오랜 편향을 해결하고 보다 정확한 해양학 연구의 길을 열었습니다.

이 연구는 응용 분야에서 직접적 또는 잠재적 가치가 있는 독창적인 방법론적 및 이론적 기여를 강조하는 것으로 알려진 Biometrika 저널에 게재되었습니다.

“해양 공학, 기후 평가 및 모델링, 재생 에너지 기술, 국방 및 운송을 포함한 수많은 분야에서 해양을 이해하는 것은 매우 중요합니다.” Astfalck 박사가 말했습니다.

“우리의 새로운 방법은 연구원과 산업 전문가가 더 큰 확신과 정확성으로 해양 기술을 발전시킬 수 있도록 합니다.”

스펙트럼 밀도 추정은 파도 및 해류와 같은 진동 신호의 에너지 기여도를 측정하는 데 사용되는 수학적 기술로, 어떤 주파수가 가장 많은 에너지를 전달하는지 식별합니다.

“전통적으로 Welch 추정기는 사용 용이성과 광범위한 인용으로 인해 이 분석의 주요 방법이었지만, 이 방법은 모델의 가정에 따라 예상 추정치를 왜곡할 수 있는 내재된 편향 위험이 있으며, 이는 종종 간과되는 문제입니다.” Astfalck 박사가 말했습니다.

TIDE 팀은 이러한 편향을 제거하기 위해 비모수 통계 학습을 사용하는 편향 제거 Welch 추정기를 개발했습니다.

“우리의 방법은 데이터의 형태나 분포에 대한 특정 가정을 요구하지 않고 스펙트럼 계산의 정확성과 신뢰성을 향상시킵니다. 이는 해양 선반 지역의 내부 조수와 같이 알려진 분석 패턴을 따르지 않는 복잡한 데이터를 다룰 때 특히 유용합니다.” Astfalck 박사가 말했습니다.

이 새로운 방법은 최근 UWA 해양 대학원 선임 강사이자 TIDE 협력자인 Matt Rayson 박사가 복잡한 비선형 해양 과정을 연구하기 위해 TIDE 연구 프로젝트에 적용했습니다.

“해양은 측정하고 이해하기 어렵고, 우리가 하는 일은 그러한 미스터리 중 일부를 밝히는 것입니다.” Rayson 박사가 말했습니다.

“새로운 방법은 해양 과정, 기후 모델, 해류 및 퇴적물 운송을 더 잘 이해할 수 있게 하여 차세대 수치 해양 모델 개발에 더 가까워지게 합니다.

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이 기사의 출처는 서호주 대학교입니다.

قام باحثون في مركز أبحاث التحول الصناعي للهندسة الرقمية لتحويل البنية التحتية للطاقة (TIDE) بجامعة غرب أستراليا بتحقيق اختراق رياضي مهم قد يساعد في تحويل أبحاث وتكنولوجيا المحيطات.

طور زميل الأبحاث الدكتور لاكلان أستفالك، من كلية الفيزياء والرياضيات والحوسبة بجامعة غرب أستراليا، وفريقه طريقة جديدة لتقدير الكثافة الطيفية، معالجين التحيزات القائمة منذ فترة طويلة وممهدين الطريق لدراسات أكثر دقة للمحيطات.

نُشرت الدراسة في مجلة بيوميتريكا، المعروفة بتركيزها على المساهمات المنهجية والنظرية الأصلية ذات القيمة المباشرة أو المحتملة في التطبيقات.

”إن فهم المحيط أمر بالغ الأهمية للعديد من المجالات، بما في ذلك الهندسة البحرية، وتقييم ونمذجة المناخ، وتقنيات الطاقة المتجددة، والدفاع والنقل،“ كما قال الدكتور أستفالك.

”تتيح طريقتنا الجديدة للباحثين والمتخصصين في الصناعة تطوير تقنيات المحيطات بثقة ودقة أكبر.“

تقدير الكثافة الطيفية هو تقنية رياضية تُستخدم لقياس مساهمة الطاقة في الإشارات المتذبذبة، مثل الأمواج والتيارات، من خلال تحديد الترددات التي تحمل أكبر قدر من الطاقة.

”تقليديًا، كان مقدر ويلش هو الطريقة المعتمدة لهذا التحليل نظرًا لسهولة استخدامه والاستشهاد به على نطاق واسع، ومع ذلك فإن هذه الطريقة تنطوي على مخاطر متأصلة للتحيز، مما قد يشوه التقديرات المتوقعة بناءً على افتراض النموذج، وهي مشكلة غالبًا ما يتم تجاهلها،“ كما قال الدكتور أستفالك.

طور فريق TIDE مقدر ويلش المصحح للتحيز، الذي يستخدم التعلم الإحصائي غير البارامتري لإزالة هذه التحيزات.

”تحسن طريقتنا دقة وموثوقية الحسابات الطيفية دون الحاجة إلى افتراضات محددة حول شكل البيانات أو توزيعها، وهو أمر مفيد بشكل خاص عند التعامل مع البيانات المعقدة التي لا تتبع أنماطًا تحليلية معروفة، مثل المد والجزر الداخلي في مناطق الرفوف المحيطية،“ كما قال الدكتور أستفالك.

تم تطبيق الطريقة الجديدة مؤخرًا في مشروع بحثي لـ TIDE من قبل المحاضر الأول في كلية المحيطات بجامعة غرب أستراليا والمتعاون مع TIDE، الدكتور مات رايسون، للنظر في عمليات المحيط غير الخطية المعقدة.

”المحيط صعب القياس والفهم والعمل الذي نقوم به يتعلق بكشف بعض تلك الألغاز،“ كما قال الدكتور رايسون.

“تعني الطريقة الجديدة أننا يمكن أن نفهم بشكل أفضل عمليات المحيط ونماذج المناخ والتيارات المحيطية ونقل الرواسب، مما يقربنا من تطوير الجيل التالي من نماذج المحيطات الرقمية.

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الفضل في المقال يعود لجامعة غرب أستراليا.

西澳大利亞大學 ARC 工業轉型研究中心的研究人員，透過數位工程改造能源基礎設施 (TIDE)，取得了一項重大的數學突破，有助於改變海洋研究和技術。

來自西澳大學物理、數學和計算學院的研究員 Lachlan Astfalck 博士及其團隊，開發了一種新的頻譜密度估算方法，解決了長期存在的偏差問題，並為更準確的海洋學研究鋪平了道路。

該研究發表在 Biometrika 期刊上，該期刊以強調在應用中具有直接或潛在價值的原創方法論和理論貢獻而聞名。

「了解海洋對於包括離岸工程、氣候評估和建模、再生技術、國防和運輸在內的眾多領域至關重要，」Astfalck 博士說。

「我們的新方法使研究人員和行業專業人士能夠以更大的信心和準確性推進海洋技術。」

頻譜密度估算是一種數學技術，用於測量振盪訊號（例如波浪和海流）的能量貢獻，方法是識別哪些頻率攜帶的能量最多。

「傳統上，Welch 估算器因其易於使用和廣泛引用而成為此分析的首選方法，但是，此方法具有固有的偏差風險，可能會根據模型的假設扭曲預期的估算值，而這個問題經常被忽略，」Astfalck 博士說。

TIDE 團隊開發了去偏差的 Welch 估算器，該估算器使用非參數統計學習來消除這些偏差。

「我們的方法提高了頻譜計算的準確性和可靠性，而無需對資料的形狀或分佈做出具體假設，這在處理不遵循已知分析模式的複雜資料時特別有用，例如海洋陸架區域的內潮，」Astfalck 博士說。

西澳大學海洋研究生院高級講師兼 TIDE 合作者 Matt Rayson 博士最近在 TIDE 研究專案中應用了這種新方法，以研究複雜的非線性海洋過程。

「海洋難以測量和理解，而我們正在做的工作都是為了揭開其中的一些謎團，」Rayson 博士說。

「這種新方法意味著我們可以更好地了解海洋過程、氣候模型、洋流和沉積物運輸，從而使我們更接近開發下一代數值海洋模型。

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本文的作者為西澳大利亞大學。